대칭-갈루아이론(신현용, 신기철)

대수학(algebra)은 다항식의 풀이에 관한 연구

• 대수학의 주제가 1차, 2차, 3차, 4차 방정식 풀이라면,

• 추상대수학(abstract algebra) 또는 현대대수학(modern algebra)

  • 주제는 오차다항식 풀이

다항식의 근의 공식이 존재한다는 말과 같은 뜻

• 다항식을 풀 수 있다

• 다항식을 거듭제곱근(radicals)을 사용해 풀 수 있다

• 가해(可解 : solvable, soluble) 다항식이다

참고 : 근의 공식이 없다고 근이 없는 것은 아니다

• 대수학의 근본정리(Fundamental Theorem of Algebra)

  • 복소수 범위에서 n 차 방정식은 n 개(중근 포함)의 해가 있다

• 요지는 유리수계수를 가지는 오차 이상 다항식에 대해
  일반화된 근의 공식을 구할 수 없다는 것이다

  • 일부 고차방정식은 근을 구하는 방법이 있다

    • 예 : $x^5 - 2 = 0$ 등 특수한 형태의 방정식은 풀이법이 존재함

아벨과 갈루아의 업적

• 오차이상 다항식을 풀 수 없음을 증명

• 이를 이해하기 위해 대수적 구조를 알아야

대수적 구조(algebraic structure)

• 집합 + 수학적 구조

  • 두 원소 사이에 정의되는 연산(operation)의 성질

  • 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙, 항등원/역원의 존재

• 예 : 군(group), 체(field), 벡터공간(vector space)

Magma $\supset$ Semigroup $\supset$ Monoid $\supset$ Group $\supset$ Field

• 대수학 기초 참조

< 이항연산 대수 구조의 정리 >

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성질	Magma	Semigroup	Monoid	Group	Field
연산에 닫혀있다	O	O	O	O	O
결합법칙 성립	X	O	O	O	O
항등원 존재	X	X	O	O	O
모든 역원 존재	X	X	X	O	O
두 연산($+$, $\times$)	X	X	X	X	O
분배법칙 성립	X	X	X	X	O