군(group)의 기초 개념

Magma $\supset$ Semigroup $\supset$ Monoid $\supset$ Group / Field

마그마(Magma)는 어떤 연산에 대해 닫혀있는 집합

• 즉 임의의 이항연산이 부여된 대수구조

반군(半群 : semigroup)

• 결합법칙(associativity)을 따르는 이항연산에 대해 닫힌 집합/대수구조

  • 따라서 연산을 두 번 이상 연속적으로 수행할 때
    그 순서를 표시하는 괄호가 불필요하다.

  • $Semigroup \subset Magma$

모노이드(monoid)

• 항등원을 갖는, 결합 법칙을 따르는 이항연산 갖춘 대수구조

  • 반군의 정의에서 항등원의 존재를 추가

  • $Monoid \subset Semigroup \subset Magma$

• 예 1 : $<\mathbf{N}, +>$

• 예 2 : $<\mathbf{Z}, \;\times>$

• 예 3 : N차원 실수 정방행렬(square matrix) 집합과 행렬곱

  • 행렬곱은 교환법칙은 성립하지 않으나 결합법칙은 성립

  • 항등행렬 $I$ 존재하나, 모든 행렬이 가역인 것은 아니다

군(group)

• 역원 가지는 모노이드 = 항등원과 역원 가지는 반군

  • 즉 역원과 항등원이 존재하고 결합법칙이 성립하는 연산구조

  • $Group \subset Monoid \subset Semigroup \subset Magma$

  • 교환법칙까지 성립하면 아벨군(Abelian group)이라고 함

• 예 1 : 2차원 실수 가역(invertible) 정방행렬 집합과 행렬곱

  • 항등원 : 항등행렬 $\;I$

  • 역원 : 역행렬

• 예 2 : $<\mathbf{Z}, +>$

  • 항등원 : 0

  • 역원 : $\;-1$ 을 곱한 값

체(field)

더하기와 곱하기 성격의 두 종류 연산이 잘 구비된 집합/대수구조

• 즉 사칙연산이 잘 정의된 집합
  • 빼기는 더하기의 역원
  • 나누기는 곱셈의 역원
• 예 : 유리수집합, 실수집합, 복소수집합

< 어떤 집합 $F$ 가 체가 되기 위한 10가지 조건 >

0. (F) 집합 $\;F\;$ 위에 덧셈과 곱셈이 정의되어 있다.

1. (A1) 덧셈에 대해 교환법칙이 성립한다.

2. (A2) 덧셈에 대해 결합법칙이 성립한다.

3. (A3) 덧셈의 항등원 $\;0$ 이 존재한다.

4. (A4) $F$의 모든 원소 $\;a$ 에 대해 역원 $\;-a$ 가 존재한다.

• 따라서 뺄셈도 항상 가능하다.

5. (M1) 곱셈에 대해 교환법칙이 성립한다.

6. (M2) 곱셈에 대해 결합법칙이 성립한다.

7. (M3) 곱셈의 항등원 $\;1$ 이 존재한다.

8. (M4) $F$ 의 $\;0$ 아닌 모든 원소 $\;a$ 에 대해 역원 $\;a^{-1}$ 가 존재한다.

• 따라서 $\;0$ 이외의 수로는 항상 나누기를 할 수 있다.

9. (D) 덧셈과 곱셈에 대해 좌우 분배법칙이 모두 성립한다.

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<이항연산 대수="" 구조의="" 정리="">

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성질	Magma	Semigroup	Monoid	Group	Field
연산에 닫혀있다	O	O	O	O	O
결합법칙 성립	X	O	O	O	O
항등원 존재	X	X	O	O	O
모든 역원 존재	X	X	X	O	O
두 연산($+$, $\times$)	X	X	X	X	O
분배법칙 성립	X	X	X	X	O