기간수익률과 연속복리

보유기간수익률(HPR: holding period return)

$HPR_N = h$ 라면

• 연간 복리수익률 = $(1+h)^{1/N} - 1$

예) 투자기간 3년 동안 18% 수익률이라면

• 3년간 보유기간수익률 18%

  • $N=3$

  • $h=0.18$

• 단리수익률은 연 6%

• 연간 복리수익률 = $(1+0.18)^{1/3} - 1$

단위기간 동안 $M$ 번 복리계산하는 경우

• $\displaystyle HPR_{\;1} = \left(1+\frac{r}{M}\right)^M$

• $\displaystyle HPR_{\;N} = \left(1+\frac{r}{M}\right)^{MN}$

예) 연 이자율 10%, 반기단위 복리(즉 연간 2회 복리)의

• 1년 보유기간 수익률 : $\displaystyle HPR_{\;1} = \left(1+\frac{10\%}{2}\right)^{2}$

예) 연 이자율 10%, 분기단위 복리(즉 연간 4회 복리)의

• 1년 보유기간 수익률 : $\displaystyle HPR_{\;1} = \left(1+\frac{10\%}{4}\right)^{4}$

예) 연 이자율 10%, 월단위 복리(즉 연간 12회 복리)의

• 1년 보유기간 수익률 : $\displaystyle HPR_{\;1} = \left(1+\frac{10\%}{12}\right)^{12}$

예) 연 이자율 10%, 월단위 복리(즉 연간 12회 복리)의

• 7개월 보유기간수익률 : $\displaystyle HPR_{\;\frac{7}{12}} = \left(1+\frac{10\%}{12}\right)^7$

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연속복리 : 연간 복리횟수가 무한대

자연상수 $e$ 의 수학적 정의

• $\displaystyle e \equiv \lim_{N \to \infty} \left(1+\frac{1}{N}\right)^N =\; 2.718 \cdots \quad \Rightarrow \quad$ 무리수/무비수

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    e 는 흔히 오일러의 수(Euler's number)로 불리우기도 한다. 
    단, 오일러상수(Euler's constant) 감마 γ 와는 다른 것이다.
    e 는 네이피어상수(Napier's constant)로도 불리우며, 
    야콥 베르누이(Jacob Bernoulli)가 
    복리이자율(compound interest)을 연구하는 과정에서 발견하였다.

• 단위기간에 이자율 $r$ 로 $N$ 번 복리계산 극한값 구하면

  • $\; \displaystyle M=\frac{N}{r}$ 이라고 하면

  • $\displaystyle \lim_{N \to \infty} \left(1+\frac{r}{N}\right)^N =\; \lim_{M \to \infty} \left(1+\frac{1}{M}\right)^{Mr} =\; e^r$

자연상수 $e$ 의 경제적 해석

• 일반적으로 이자율 표시는 1년을 단위기간으로 함

• $r = 1$ , 즉 100% 이자율 연속복리 1년 원리합계는 원금의 약 2.718배

• 주의 : 복리횟수가 무한대라도 원리합계는 무한대 아니다

<참고> $\displaystyle f(x) = \left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ 그래프

• 자연상수 e 의 수렴과정 그래프 링크

  • 참고 : 양수 부분만 적용할 것