연금의 가치와 등비수열

연금(annuity)

• $1$ 년 뒤부터 $N$ 년까지 매년 일정한 금액(A)을 지급

• $\displaystyle V_N = \frac{A}{1+r} + \frac{A}{(1+r)^2} + \cdots + \frac{A}{(1+r)^N}$

  • 초항 : $\displaystyle \frac{A}{1+r}$

  • 공비 : $\displaystyle \frac{1}{1+r} = (1+r)^{-1}$

  • 항의 개수는 $N$ 인 등비수열의 합(등비급수)

등비급수의 계산

• 초항 $a$

• 공비 $x$

• 항의 개수는 $N$ 인 등비수열의 합(등비급수) $\;S_N$ 은?

참고 : 다항식의 계산 기법

• $\left(1-x\right)\left(1+x+x^2+\cdots+x^{N-1}\right) = 1-x^N$

$\displaystyle \therefore \quad 1+x+x^2+\cdots+x^{N-1} \;=\; \frac{\;1-x^N}{1-x\;}$

$\displaystyle \therefore \quad S_N \;=\; a \left( \frac{\;1-x^N}{\;1-x\;\;} \right)$

등비급수 공식을 연금가치식 $V_N$ 에 대입해 정리하면

$\quad \quad \displaystyle V_N \;=\; \frac{A}{r}\left[ 1 - \frac{1}{(1+r)^N} \right]$

영구연금의 가치는 만기가 무한대이므로 $N = \infty$

$\quad \quad \displaystyle V_{\infty} \;=\; \frac{\;A\;}{r}$

공식의 경제적 해석

1) 영구연금 공식의 해석

• 식을 다시 정리하면 : $\displaystyle \quad A \;=\; Vr$

  • 이자 = 원금 $\times$ 이자율

  • 지금 원금 $V$ 를 은행에 예치하고 매년 이자 $A$ 를 받는 것

• 예 : 이자율 5% 라면

  • 원금 10억원을 은행에 맡기면

    • 매년 이자를 5천만원( $=$ 10억원 $\times$ 5%) 수령한다 *

  • 따라서 매년 5천만원을 지급하는 영구연금은

    • 10억원$\left(= \frac{50,000,000}{5\%} \right)$ 가치로 산정된다.

2) 일반연금 공식의 해석

• 영구연금을 받다가

• 만기시점에 ($t=N$) 영구연금을 반납하는 것

  • 지금 받고 만기에 돌려주는 것

    • 즉 만기까지 사용하는 권리의 가치

  • 지금 영구연금의 가치 = $\displaystyle \frac{\;A\;}{r}$

  • 반납하는 영구연금의 현재가치는

    • 영구연금 가치를 이자율로 할인한 것, 즉

    • $\displaystyle \frac{\;A\;}{r(1+r)^N}$

  • 일반연금의 현재가치는 두 가치의 차가 됨

    • 받는 것의 현재가치 $\;-\;$ 주는 것의 현재가치