복리계산과 지수와 로그
미래가치(복리)
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$FV_N = PV(1+r)^N$
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$FV_N$ : $N$ 기간 뒤 미래가치(future value)
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$PV$ : 현재가치(present value)
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$r$ 이자율
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복리이자계산(coumpounding)
- 이자의 이자가 가산되어 기하급수적 증가
참고 : 미래가치(단리: 단순이자계산)
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$FV_N = PV(1+rN)$
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이자만 가산되어 산술급수적 증가
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이후 모든 계산은 복리기준으로 설명
현재가치
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$\displaystyle PV = \frac{FV_N}{(1+r)^N}$
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할인(discounting) : 미래에 주어지는 돈의 현재가치를 계산
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미래가치 공식을 이항하여 정리
- 시간의 방향을 반대로 계산한 것일 뿐임
단위기간 수익률 계산
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미래가치 공식을 이항하여 이자율 기준 정리
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$\displaystyle r = \left( \frac{\;FV_N}{PV} \right)^{\frac{1}{N}} - \;1$
자금확보 필요기간 계산
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미래가치 공식을 이항하여 기간수 기준 정리
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$\displaystyle N = \frac{\log\left( \frac{\;FV_N}{PV} \right)}{\log\,(1+r)}$
- 전기간 수익률과 연간수익률 각각의 로그값 비율이 기간의 수가 된다
지수함수
- $y = b^{\;x}$
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b : base : 밑수 : 양수(+) 가정함
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자주 사용되는 밑수로는 10, 2, 무리수 $e$ 등이 있다.
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예 : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
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$\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$ : 제곱하면 7 되는 수
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$\sqrt[5]{7} = 7^{\frac{1}{5}}$ : 다섯번 곱하면 7 되는 수
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$b^{\frac{1}{N}}$ : N 번 곱하면 b 되는 수
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$1.1^3 = (1+10\%)^3$ : 1.1 을 세번 곱한 수
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10% 이자율 3년 복리 원리합계
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원리합계(元利合計) : 원금과 이자의 합계
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$1.5^{\frac{1}{10}}$ : 10 번 곱하면 1.5 가 되는 수 : $x^{10} = 1.5$
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10 년후 복리 원리합계로 원금의 1.5배를 받게 되는 년수익률(원리합계율)
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$1+r$ : 원리합계율
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$r$ : 수익률 : rate of return
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$3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$
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3을 두번 곱한 수와 3을 네번 곱한 수를 곱하면 3을 6번 곱한 수가 됨
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즉 지수로 표시된 수들을 곱하면 지수는 더하기된다
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$\displaystyle 5^{-2} = \frac{1}{\;5^2} = \frac{1}{25}$
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지수에서 음의 부호는 나눈다는 의미
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$5^5\times5^{-2} = 5^{5+(-2)} = 5^3$
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$\displaystyle 1.1^{-2} = \frac{1}{\;1.1^2} = \frac{1}{(1+10\%)^2}$ : 10% 이자율 2년 할인
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$1^x = 1$ : 1 은 모든 승수에 대해 1
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어떤 수의 0 승은 1
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$11^2\times11^{-2} = 11^{2+(-2)} = 11^0 = 1$
- 두 번 곱하고 두 번 나누니 다시 원래대로 됨
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로그함수
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log : logarithm / log function : logarithmic function
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지수함수의 역함수(inverse function)
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지수함수 곡선과 45도선($\;y=x\;$) 대칭
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$\;y = \log_{\,b}{x} \quad \Longleftrightarrow \quad x = b^{\;y}$
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$\;b^{\;\log_{\,b}{x}} \,= \;x$
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$\log_{\,b}{b^{\,x}} = \;x$
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주요 공식 : [연습] 지수공식과 대응해 볼 것!!!
- $\log_{\,b} 1 \;=\; 0$
- $\log_{\,b} 0 \;=\; -\infty$
- $\log_{\,b} (x\times y) = \log_{\,b} x + \log_{\,b} y$
- $\log_{\,b}{c^x} = \;x\log_{\,b} c$
- $\displaystyle \log_{\,b} \left(\frac{\;x\;}{y}\right) = \log_{\,b} (x\times y^{-1}) = \log_{\,b} x - \log_{\,b} y$
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$\log_{\,x}{y} = \displaystyle \frac{\log_{\,b} y}{\log_{\,b} x}$
- $\log_{\,x}{y} = z$ 라고 하면 $x^z = y$
- 양변에 밑을 b 로 하는 로그를 취하면 $z \log_{\,b} x = \log_{\,b} y$ -
- $z$ 에 대해 정리하면 $\displaystyle \log_{\,x}{y} = z = \frac{\log_{\,b} y}{\log_{\,b} x}$
- $\log_{\,x^m}{y^n} = \displaystyle \frac{n}{m}\log_{\,x} y$
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밑수 생략하면 관습적으로 자연상수 $e$ 로 간주
- 자연로그 : 자연상수가 밑수 : $\ln x = \log_e x = \log x$
<참고>
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지수함수와 로그함수는 상호 역함수로 45도선 대칭
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로그함수 정의역은 양수임