재무관리 08 포트폴리오 효과

재무관리의 지향점 $\Rightarrow$ 가격결정(Pricing)

• 가격과 (기대)수익률은 동일한 개념

  • $\displaystyle P \;=\; \frac{F}{1+r}$

  • $\displaystyle r \;=\; \frac{\;F}{P\;} - 1$

• 즉 하나가 정해지면 나머지도 정해짐

가격결정 : 가치 = 2차원 함수(시간, 위험)

• Value = Function of Time & Risk

  • $V = f(T, R)$

위험과 (기대)수익의 관계

• High Risk High Return

  • 높은 위험부담이 무조건 높은 수익을 보장하는 것은 아님

  • 평균적으로 높은 수익 기대한다는 것임 $\Rightarrow$ 기대수익

위험의 측정

• 표준편차 = 분산(편차 제곱의 기댓값)의 제곱근

  • 분산 : $\quad \displaystyle Var[X] \;=\; E\left[\left(X - \mu \right)^2\right] \;=\; E\left[X^2\right] - \mu^2 $

  • 단, $\quad \mu \;=\; E[X]$

포트폴리오 수익률 위험의 측정

• 표준편차(분산)
• 단, 잘 분산투자됨(well-diversified)을 전제
• 공분산(상관계수) 개념이 중요함

  • 공분산 = 두 편차 곱의 기댓값

  • $\displaystyle Cov[X,Y] \;=\; E\left[\left(X - \mu_x \right)\left(Y - \mu_y \right)\right] \;=\; E\left[XY\right] - \mu_x \mu_y$

• 자기자신과의 공분산이 분산임
  • $Cov[X,X] \;=\; Var[X]$
    $ \; $

• 상관계수 : 공분산 크기를 -1 과 1 사이로 표준화시킴

  • $\displaystyle \rho_{x,y} \;=\; \frac{Cov[X,Y]}{\sqrt{Var[X]Var[Y]}} \;=\; \frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x \sigma_y} $

개별자산 수익률 위험의 측정

• 개별자산 표준편차는 비체계적 위험 포함
• 비체계적 위험은 가격에 반영되지 않음
• $\beta$ : 베타 : 체계적 위험 측정
  • 시장자산에 대한 민감도(기울기)
  • CAPM 참고

참고 1 : 체계적 위험 vs 비체계적 위험

비체계적 위험 unsystematic risk	체계적 위험 systematic risk
개별/고유위험 idiosyncratic risk	시장위험 market risk
분산가능위험 diversifiable risk	분산불가능위험 non-diversifiable risk
가격에 반영 안됨	가격에 반영됨

참고 2 : 포트폴리오 수익률 분산의 계산

\(\tilde{r}_p = w_1\tilde{r}_1 + w_2\tilde{r}_2\)

• $\tilde{r}_i$ : 자산 $i$ 의 수익률
  • 확률변수로 값을 미리 정할 수 없음
  • 값이 사후적으로 확률적으로 정해짐
• $w_i$ : 자산 $i$ 에 대한 자산분배비중(가중치)
  • 투자자 자신이 값을 미리(사전적으로) 정할 수 있음
• 포트폴리오 수익률은 각 자산 수익률의 가중평균

$E[\tilde{r}_p] = w_1E[\tilde{r}_1] + w_2E[\tilde{r}_2] \; ::: \;\mu_p = w_1\mu_1 + w_2\mu_2$

• 표기를 간단히 하기 위해 기대값을 $\mu$ 로 표기

$Var[\tilde{r}_p] = E[(\tilde{r}_p - \mu_p)^2] \; ::: \;\sigma_p^2$

• 분산은 확률변수의 산포도(분포의 흩어짐의 정도) 측정 개념
• 투자수익률의 변동성(variability) 또는 위험(risk) 측정

$\tilde{r}_p - \mu_p = w_1(\tilde{r}_1 - \mu_1) + w_2(\tilde{r}_2 - \mu_2)$

• 포트폴리오 편차 역시 각 자산 편차의 가중평균임

양변을 제곱하면

$( \tilde{r}_p - \mu_p )^2 = w_1^2 ( \tilde{r}_1 - \mu_1 )^2 + 2w_1w_2 ( \tilde{r}_1 - \mu_1 ) ( \tilde{r}_2 - \mu_2 ) + w_2^2 ( \tilde{r}_2 - \mu_2 )^2$

양변에 기댓값을 취하면

$\sigma_p^2 \; = \; w_1^2\sigma_1^2 +2w_1w_2\sigma_{1,2} + w_2^2\sigma_2^2$

공분산과 상관계수 관계 : $\sigma_{1,2} = \rho\;\sigma_1\sigma_2$

• 상관계수 = 공분산 나누기 표준편차들의 곱
• 공분산 = 상관계수 곱하기 표준편차들의 곱

\(\sigma_p^2 = w_1^2\sigma_1^2 + 2w_1w_2\rho\;\sigma_1\sigma_2 + w_2^2\sigma_2^2\)

• 두 자산의 위험(표준편차) 수준이 주어졌을 때

• 그 상관계수가 낮을수록 포트폴리오 분산 작아짐