대칭다항식 symmetric polynomial

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임의의 치환 $\sigma \in S_n$ 에 대하여
$f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \cdots, x_{\sigma(n)})$
예 : $\quad x_1 + x_2 + x_3 - 7 x_1 x_2 x_3$
- $\; x_1$ 과 $x_2$ 와 $x_3$ 를 바꾸어도 식이 변하지 않는다
예 : $\quad \alpha^2 + \beta^2$
- $\;\alpha$ 와 $\beta$ 를 바꾸어도 식이 변하지 않는다

2 변수 다항식은 2개
- $\quad x_1 + x_2$
- $\quad x_1 x_2$
3 변수 다항식은 3개
- $\quad x_1 + x_2 + x_3$
- $\quad x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1$
- $\quad x_1 x_2 x_3$
4 변수 다항식은 4개
- $\quad x_1 + x_2 + x_3 + x_4$
- $\quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4$
- $\quad x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4$
- $\quad x_1 x_2 x_3 x_4$
5 변수 다항식은 5개

$\vdots$

친절한 [증명]은 “대칭 : 갈루아 이론” by 신현용,신기철(2017) p.193 이하
예
- $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$
- $ x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 \;\;=$
  $\quad (x_1 + x_2 + x_3)^3 \;+\; 3 x_1 x_2 x_3 \;\;-$
  $\quad \quad 3(x_1 + x_2 + x_3)(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1)$

2차 방정식 $x^2 + a x + b \;=\; 0$ 의 두 근을
$\alpha$ 와 $\beta$ 라고 하면
- $x^2 + a x + b \;=\; (x-\alpha)(x-\beta) \;=\; 0$ 이므로
  - $\alpha + \beta \;=\; -a$
  - $\alpha\beta \;=\; b$
3차 방정식 $x^3 + a x^2 + b x + c \;=\; 0$ 의 세 근을
$\alpha$ 와 $\beta$ 와 $\gamma$ 라고 하면
- $x^3 + a x^2 + b x + c \;=\; (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$
  - $\alpha + \beta + \gamma \;=\; -a$
  - $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha \;=\; b$
  - $\alpha\beta\gamma \;=\; -c$
$\vdots$
즉 다항방정식 근들의 대칭다항식들은 모두
다항방정식 계수들의 다항식으로 표현된다
주의 : 이러한 관계식만으로는 근을 구할 수 없다
- 원래의 방정식으로 환원됨(동어반복)
- 그러나 추가적인 관계식을 찾아내면 구할 수 있다
- 단, 4차 이하 방정식의 경우에만 가능하다
- 5 차 이상 방정식의 경우에는
  계수들의 거듭제곱근으로 표현되는
  근의 공식을 도출할 수 없다

참고