4차 방정식 근의 공식

$a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0$

먼저 4차항 계수 1 로 표준화

• $a = 1$

• 향후 필요시 변수 재변환하면 됨

  • $b \rightarrow \frac{b}{a}$

  • $c \rightarrow \frac{c}{a}$

  • $d \rightarrow \frac{d}{a}$

  • $e \rightarrow \frac{e}{a}$

$x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0$

4차 방정식 근의 공식 유도는
기본적으로 3차 방정식과 동일

먼저 3차항을 제거하기 위해 변수변환을 실시한다

• $y = x + \frac{b}{4}$

그러면 식은 다음과 같은 형태가 된다.

$y^4 + p y^2 + q y + r = 0$

• $\quad p = c - \frac{3}{8} : b^2$

• $\quad q = d - c \left(\frac{\;b\;}{2}\right) + \left( \frac{\;b\;}{2} \right)^3$

• $\quad r = e - d \left(\frac{\;b\;}{4}\right) + c \left( \frac{\;b\;}{4} \right)^2 - 3 \left( \frac{\;b\;}{4} \right)^4 $

그리고 미지수 $y$ 를 세 값의 합으로 가정한다. 즉

$y = s + t + u$

그리고 편의로 다음 대칭식들을 정의하자.

• $s^2 + t^2 + u^2 = A$

• $s^2 t^2 + t^2 u^2 + u^2 s^2 = B$

• $stu = C \quad \Rightarrow \quad s^2 t^2 u^2 = C^2$

그러면 앞의 $y$ 의 4차 방정식 계수로부터 다음 관계가 유도된다.

• $A = -\frac{\;p\;}{2}$

• $B = \frac{\; p^2}{16} - \frac{\;r\;}{4}$

• $C = -\frac{q}{8}$

이제 3차방정식 근과 계수의 관계를 이용하여

• $s^2$ 과 $t^2$ 과 $u^2$ 을 세 근으로 하는 3차 방정식을 만든다.

$z^3 + \frac{\;p\;}{2} z^2 + \left( \frac{\; p^2}{16} - \frac{\;r\;}{4} \right) z - \frac{\; q^2}{64} = 0$

이 3차 방정식을 풀어 해를 $z_1 , z_2 , z_3$ 라 하면

• $s = \pm \sqrt{z_1}$

• $t = \pm \sqrt{z_2}$

• $u = \pm \sqrt{z_3}$ 이다.

여기서 $stu = -\frac{q}{2}$ 를 만족하는 $\{ s, t, u \}$ 짝을 선택한다

• 예를 들어

  • $s = \sqrt{z_1}$

  • $t = -\sqrt{z_2}$

  • $u = \sqrt{z_3}$ 일 수 있다.

그리고

• $stu = s(-t)(-u) = (-s)t(-u) = (-s)(-t)u$

이므로

미지수 $y$ 의 해는 다음 4개가 된다. 즉

• $y = s + t + u$

• $y = s - t - u$

• $y = - s - t + u$

• $y = - s + t - u$

THE END

예 : $x^4 + 2x + \frac{3}{4} = 0$ 을 풀어보자

• 주어진 문제에서 이미 3차항이 없으므로

• 바로 $s^2$ 과 $t^2$ 과 $u^2$ 을 세 근으로 하는 3차 방정식을 만든다.

$z^3 + \frac{\;p\;}{2} z^2 + \left( \frac{\; p^2}{16} - \frac{\;r\;}{4} \right) z - \frac{\; q^2}{64} = 0$

• $\quad p = c - \left( \frac{\;b\;}{2} \right)^2 = 0$

• $\quad q = d - c \left(\frac{\;b\;}{2}\right) - \frac{1}{2} \left( \frac{\;b\;}{2} \right)^3 = 2$

• $\quad r = e - d \left(\frac{\;b\;}{4}\right) + c \left( \frac{\;b\;}{4} \right)^2 - \left( \frac{\;b\;}{4} \right)^4 = \frac{3}{4}$

따라서 $\quad z^3 - \frac{\;3\;}{16} z - \frac{\; 1 \;}{16} = 0$

여기서 2차항이 이미 없으므로

바로 미지수를 두 값의 합, 즉 $z = g + h$ 로 두면

• $g^3 + h^3 = \frac{\; 1 \;}{16}$
• $gh = \frac{\;1\;}{16}$

이제 $g^3$ 과 $h^3$ 을 두 근으로 하는 이차방정식을 만들면

$k^2 - \frac{\; 1 \;}{16} k + \frac{\;1\;}{16^3} = 0$

• $k = \frac{\; 1 \;}{2^6} \left( 2 \pm \sqrt{3} \right)$

  • $g^3 = \frac{\; 1 \;}{2^6} \left( 2 - \sqrt{3} \right)$

  • $h^3 = \frac{\; 1 \;}{2^6} \left( 2 + \sqrt{3} \right)$

여기서 $gh = \frac{\;1\;}{16}$ 을 만족하는 $(g, h)$ 짝은 다음 3개!

• 첫째는

  • $g = \frac{\; 1 \;}{4} \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}}$

  • $h = \frac{\; 1 \;}{4} \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}}$

• 둘째는

  • $g = \frac{\; 1 \;}{4} \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}} \; \omega$

  • $h = \frac{\; 1 \;}{4} \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}} \; \omega^2$

• 셋째는

  • $g = \frac{\; 1 \;}{4} \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}} \; \omega^2$

  • $h = \frac{\; 1 \;}{4} \sqrt[3]{2 + \sqrt{3}} \; \omega$

따라서 $z = g + h$ 의 세 근은

• $s^2 = z_1 = \frac{\; 1 \;}{4} \left( \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } \right)$

• $t^2 = z_2 = \frac{\; 1 \;}{4} \left( \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } \omega + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } \omega^2 \right)$

• $u^2 = z_3 = \frac{\; 1 \;}{4} \left( \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } \omega^2 + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } \omega \right)$

따라서

• $s = \pm \frac{\; 1 \;}{2} \sqrt{ \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } }$

• $t = \pm \frac{\; 1 \;}{2} \sqrt{ \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } \omega + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } \omega^2 }$

• $u = \pm \frac{\; 1 \;}{2} \sqrt{ \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } \omega^2 + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } \omega }$

그리고 다음 두 조건을 점검하여 선택한다

• $stu = -\frac{q}{8} = -\frac{1}{4}$

• $stu=s(−t)(−u)=(−s)t(−u)=(−s)(−t)u$

그러면 다음과 같은 네 개의 $\; (s, t, u) \;$ 짝이 가능하다.

• 첫째 :

  • $s = - \frac{\; 1 \;}{2} \sqrt{ \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } }$

  • $t = \frac{\; 1 \;}{2} \sqrt{ \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } \omega + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } \omega^2 }$

  • $u = \frac{\; 1 \;}{2} \sqrt{ \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } \omega^2 + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } \omega }$

• 둘째 :

  • $s = - \frac{\; 1 \;}{2} \sqrt{ \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } }$

  • $t = - \frac{\; 1 \;}{2} \sqrt{ \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } \omega + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } \omega^2 }$

  • $u = - \frac{\; 1 \;}{2} \sqrt{ \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } \omega^2 + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } \omega }$

• 셋째 :

  • $s = \frac{\; 1 \;}{2} \sqrt{ \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } }$

  • $t = \frac{\; 1 \;}{2} \sqrt{ \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } \omega + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } \omega^2 }$

  • $u = - \frac{\; 1 \;}{2} \sqrt{ \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } \omega^2 + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } \omega }$

• 넷째 :

  • $s = \frac{\; 1 \;}{2} \sqrt{ \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } }$

  • $t = - \frac{\; 1 \;}{2} \sqrt{ \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } \omega + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } \omega^2 }$

  • $u = \frac{\; 1 \;}{2} \sqrt{ \sqrt[3]{2 - \sqrt{3} } \omega^2 + \sqrt[3]{2 + \sqrt{3} } \omega }$

최종적으로

• $x^4 + 2x + \frac{3}{4} = 0$ 의 해는

• 이 네 개의 각 짝에서

• $x = s+t+u \;$ 로 주어진다.