3차 방정식 근의 공식

너무 복잡하니 간단한 것부터 풀어야 함

$ \quad \quad x^3 = 1 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad x^3 - 1 =0 $

$x^3 - 1 = (x -1 )(x^2 + x + 1)$　이므로

　　$x = 1$　과

이차식 $x^2 + x + 1 = 0$ 으로부터 나머지 두 근을 구하면

　　$x = - \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3\;}}{\;2}i$　이다.

이 두 복소수해 가운데

• 아무거나 하나를　$\omega$　라고 하면
• 나머지 하나는　$\omega^2$　가 되며

따라서 세 해를 모두 적으면

• $x = \; 1, \; \omega, \; \omega^2$

이제 다음 식을 풀어보자.

$ \quad \quad x^3 = a \quad \quad \Rightarrow \quad \quad x^3 - a =0 $

$y = \frac{x}{\sqrt[3]{a}}$ 이라고 하면

　　$y^3 = 1 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad y^3 - 1 =0 $　이므로

　　$y = \; 1, \; \omega, \; \omega^2$　이며, 따라서

　　$x = \; \sqrt[3]{a}, \; \omega \sqrt[3]{a}, \; \omega^2 \sqrt[3]{a}$　이다.

이제 본격적으로 일반적인 3차 방정식 해법을 살펴보자

$a x^3 + b x^2 + c x + d = 0$

먼저 표기의 편리를 위해
3차항 계수를 1 로 표준화

• $a = 1$

• 향후 필요시 변수 재변환하면 됨

  • $b \rightarrow \frac{b}{a}$

  • $c \rightarrow \frac{c}{a}$

  • $d \rightarrow \frac{d}{a}$

$x^3 + b x^2 + c x + d = 0$

2차항을 제거하기 위해 변수변환

• $y = x + \frac{b}{3}$

그러면 식은 다음과 같은 형태가 된다.

$y^3 + q y + r = 0$

• $\quad q \;=\; c :- \frac{1}{3}:b^2$

• $\quad r \;=\; d - \frac{1}{3}:c:b: + \frac{2}{27}: b^3 $

그리고 미지수 $y$ 를 두 값의 합으로 가정한다. 즉

$y = s + t$ 라고 하면 식은 다음과 같이 된다.

$s^3+t^3+r + (3st+q)(s+t) = 0$

따라서

• $s^3+t^3 = -r$
• $3st = -q \quad \Rightarrow \quad s^3 t^3 = - \frac{\; q^3}{27}$

여기서 $s+t = 0$ 은

• $y = 0$ 으로 가정하는 것이기 때문에
• 일반적이지 못하므로 고려하지 않는다.

이제 2차방정식 근과 계수의 관계를 이용하여

• $s^3$ 과 $t^3$ 을 두 근으로 하는 이차방정식을 만든다.

$z^2 + r z - \frac{\; q^3}{27} = 0$

• 여기서 $s^3 = z$ 이므로

• $s = \sqrt[3]{z}, \omega \sqrt[3]{z}, \omega ^2 \sqrt[3]{z}$ 이다.

• $t$ 도 마찬가지로 계산된다.

$z = - \frac{r}{2} \pm \sqrt{\frac{r^2}{4} + \frac{q^3}{27}}$

• 이 두 근을 아무렇게나 $z_1$ 과 $z_2$ 라고 하자.

• 그러면 이제 $s$ 의 $t$ 의 짝이 여러 개 가능한데

• $3st = -q$ 를 만족하도록 $s$ 와 $t$ 를 정하면

• 총 3 개의 쌍이 가능하며 그 각 합이 세 개의 해가 된다.

그러면 이제 $y$ 의 세 근은 다음과 같다.

• $\sqrt[3]{z_1} + \sqrt[3]{z_2}$

• $\sqrt[3]{z_1}\omega + \sqrt[3]{z_2}\omega^2$

• $\sqrt[3]{z_1}\omega^2 + \sqrt[3]{z_2}\omega$

최종적으로 $x$ 의 세 근은

• $-\frac{b}{3} \;+\; \sqrt[3]{- \frac{r}{2} + \sqrt{\frac{r^2}{4} + \frac{q^3}{27}}} \;+\; \sqrt[3]{- \frac{r}{2} - \sqrt{\frac{r^2}{4} + \frac{q^3}{27}}}$

• $-\frac{b}{3} \;+\; \omega: \sqrt[3]{- \frac{r}{2} + \sqrt{\frac{r^2}{4} + \frac{q^3}{27}}} \;+\; \omega^2: \sqrt[3]{- \frac{r}{2} - \sqrt{\frac{r^2}{4} + \frac{q^3}{27}}}$

• $-\frac{b}{3} \;+\; \omega^2: \sqrt[3]{- \frac{r}{2} + \sqrt{\frac{r^2}{4} + \frac{q^3}{27}}} \;+\; \omega: \sqrt[3]{- \frac{r}{2} - \sqrt{\frac{r^2}{4} + \frac{q^3}{27}}}$
  ${ }$

  • $\quad q \;=\; c :- \frac{1}{3}:b^2$

  • $\quad r \;=\; d - \frac{1}{3}:c:b: + \frac{2}{27}: b^3 $

  • $\quad \omega^2 + \omega + 1 = 0 \quad : \quad \omega = - \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3\;}}{\;2}i$

$a \ne 1$ 이라면 계수 변환

• $b \rightarrow \frac{b}{a}$

• $c \rightarrow \frac{c}{a}$

• $d \rightarrow \frac{d}{a}$