군(group)의 기초 개념 4

1. 체의 동형(isomorphic)

• 두 체 $K$ 와 $K’$ 에 대해

• 동형사상이 존재하면 동형 이라고 한다.

동형 사상(同型寫像 : isomorphism)

• 사상(mapping) $f : K \rightarrow K’$ 가 일대일대응이고

• $K$ 의 임의의 원소 $x, y$ 에 대해서

  • $f(x+y) = f(x) + f(y)$ 이고

  • $f(xy) = f(x)f(y)$ 이면

• 사상 $f$ 를 동형사상 이라고 한다.

자기 동형 사상(自己同型寫像 : automorphism)

• 앞에서 $K = K’$ 일 때 $f$ 를 자기동형사상 이라고 한다.

직관적 설명

• 동형사상은 두 집합의 사칙연산구조를 보존하는 함수이고
• 동형 집합은 사칙연산 관점에서 본질적으로 같은 집합이다.

2. 체의 확대

대수적 확대체(algebraic extention field)

• 유리계수 방정식 해가 되는 수를 대수적 수(代數的數 : algebraic number)

• 대수적 수가 아닌 복소수를 초월수((超越數 : transcendental number)

• 예 : 유리체 $Q$ 에 무리수 일부를 추가한 체

$Q(\sqrt{2}) = \{ a+b\sqrt{2} \;:\; a, b \in Q \}$

$Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \{ a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3} \;:\; a, b, c \in Q \}$

$Q(\alpha) : \alpha = \sqrt[3]{2}$

• $Q(\alpha) = \{ a+b\alpha+c\alpha^2 \;:\; a, b, c \in Q \}$

• $\alpha$ 의 삼차 이상 다항식은 모두 2차식으로 축소될 수 있다.

일반적으로 $\alpha = \sqrt[n]{p}$ 이면

• $Q(\alpha) = \{ a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n-1} \alpha^{n-1} \;:\; a_k \in Q \}$

• $\alpha$ 의 $n$ 차 이상 다항식은 모두 $(n-1)$ 차식으로 축소될 수 있다.