군(group)의 기초 개념

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잉여류(coset)Permalink

군 $G$ 와 $G$ 의 부분군 $H$ 가 있을 때,
임의의 $x \in G$ 에 대하여
$H$ 의 $xG$ 에 대한 우잉여류(right coset)는
다음과 같이 정의되는 집합이다 :

마찬가지로 좌잉여류(left coset)는
다음과 같이 정의되는 집합이다 :

잉여류(coset)

$S_3 = \{ \; 1, (1,2), (1,3), (2,3), (1,2,3), (1,3,2) \; \}$
부분군 $A_3 = \{ \; 1, (1,2,3), (1,3,2) \; \}$
부분군 $H = \{ \; 1, (1,2) \; \}$
여기서 $G = S_3$ , 그리고 $N = A_3$ 이라고 하면
$N$ 는 우잉여류와 좌잉여류가 같다
즉 $N$ 의 우잉여류는
- $N1 = N(123) = N(132) = \{ \; 1, (123), (132) \; \}$
- $N(12) = N(13) = N(23) = \{ \; (12), (13), (23) \; \}$
$N$ 의 좌잉여류는
- $1N = (123)N = (132)N = \{ \; 1, (123), (132) \; \}$
- $(12)N = (13)N = (23)N = \{ \; (12), (13), (23) \; \}$
그러나 $H$ 는 다르다.
$H$ 의 우잉여류는
- $H1 = H(12) = \{ \; 1, (12) \; \}$
- $H(13) = H(132) = \{ \; (13), (132) \; \}$
- $H(23) = H(123) = \{ \; (23), (123) \; \}$
$H$ 의 좌잉여류는
- $1H = (12)H = \{ \; 1, (12) \; \}$
- $(13)H = (123)H = \{ \; (13), (123) \; \}$
- $(23)H = (132)H = \{ \; (23), (132) \; \}$

위에서 군의 모든 원소가 각 잉여류로 전부 분류되며(분할)
각 잉여류는 해당 부분군과 원소의 개수와 같다.

$H$ 의 원소 $x$ 를 $hx$ 에 대잉시키는
$H \rightarrow Hx$ 는 일대일대응이다
$| G | = | H | \times |G:H |$
- 단, $| G |$ 는 군 $G$ 의 원소의 개수(위수)이며
- $|G:H |$ 는 부분군 $H$ 에 의한 잉여류의 개수인데,
- 이를 $H$ 의 지수(index)라고 한다.

$N$ 이 $G$ 의 부분군일 때($N < G$) 다음이 성립하면
$N$ 을 $G$ 의 정규부분군이라 한다($N \vartriangleleft G$).
TFAE : the following are all equivalent
1. $\; \forall a \in G \; : \; a N = N a$
2. $\; \forall a \in G \; : \; a N a^{-1} \subset N$
3. $\; \forall a \in G \; : \; a N a^{-1} = N$
단, 위에서 $aN = \{ an : \forall n \in N \}$
그리고 $Na = \{ na : \forall n \in N \}$
앞의 예에서 $N$ 는 좌/우 잉여류가 같으므로 정규부분군이다
그러나 $H$ 는 좌/우 잉여류가 다르므로 정규부분군이 아니다.

군 $G$ 와 $G$ 의 정규부분군 $N$ 이 있을 때,

잉여류 전체의 집합 $\{ \; Nx \;:\; x \in G \; \}$ 를

$G/N$ 으로 표시하며, 여기 적절한 연산을 적용하여

상군 또는 몫군(quotient group)을 만들 수 있다.

예 : 정수 전체 집합을 “3” 으로 나눈 나머지로 구분한 집합
- $Z/3Z = \{ \; \bar{0}, \; \bar{1}, \; \bar{2} \; \}$
  - $\bar{0} = \{ \cdots , -6, -3, \; 0, \; 3, \; 6, \cdots \}$
  - $\bar{1} = \{ \cdots , -5, -2, \; 1, \; 4, \; 7, \cdots \}$
  - $\bar{2} = \{ \cdots , -4, -1, \; 2, \; 5, \; 8, \cdots \}$