군(group)의 기초 개념 2

군(group)의 정의

다음 조건을 만족하는 “공집합 아닌 집합(G)”을 군이라 한다.

1) 어떤 연산($\cdot$)에 대해 닫혀있다

• $x, y \in G \Rightarrow x \cdot y \in G$

2) 결합법칙이 성립한다.

• $(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$

3) 항등원이 존재한다.

• $\exists 1 \in G : 1 \cdot x = x \cdot 1 = x \;\; \forall x \in G$

4) 역원이 존재한다.

• $\exists x^{-1} \in G \;\; \forall x \in G: x^{-1} \cdot x = x \cdot x^{-1} = 1 $

군의 전형적인 예

• 순환군 : 회전

• 정이면체군 : 회전 + 뒤집기

• 대칭군 : 순서바꾸기(순열/치환)

1) 순환군(循環群 : cyclic group) : $C_n$

• $C_n = \{ 1, x, x^2, \cdots, x^{n-1} \} : x^n = 1$

• 간단하게 $C_n = ⟨ x : n ⟩$ 으로 표시할 수 있다.

• 즉 주어진 원소를 반복연산하여 구성되는 집합이다.

• 예 : 앞뒤와 각 모서리를 구분하는 정육각형 종이를
  고정된 위치의 같은 크기 정육각형 틀에
  앞면을 위로 하여 두는 방법들의 집합

  • 즉 회전만 가능하고 뒤집기는 불가능
    ${}$

• 예 : $C_3$ 연산표

  • 회전 연산을 $r$ , 항등원을 $e$ 로 표기

$e$	$r$	$r^2$
$r$	$r^2$	$e$
$r^2$	$e$	$r$

2) 정이면체군(正二面體群 : dihedral group) : $D_n$

• 정다각형의 대칭군인 유한군

• 예 : 앞뒤는 구분 안하고 모서리는 구분하는 정삼각형 종이를
  고정된 위치의 같은 크기 정삼각형 틀에 두는 방법들의 집합

• 모든 이면군은 두 개의 기본 원소가 있다 : 즉 회전과 뒤집기

  • 회전(rotation) $r$ : $n$ 번 실행하면 원래 모양 된다.

  • 뒤집기(flip) $f$ : 2 번 실행하면 원래 모양 된다

    • 뒤집어 회전 $fr$ : 2회 실행해도 원래가 된다

    • 회전 후 뒤집기 $rf$ : 2회 실행헤더 원래가 된다

• 따라서 다음과 같이 정의될 수 있다.

  • $D_n = ⟨ \; r,f \;:\; r^n = f^2 = (rf)^2 = (fr)^2 = 1 \; ⟩$

• 예 : $D_3$ 연산표

  • 회전을 $r$ , 뒤집기를 $f$ , 항등원을 $e$ 로 표기

$e$	$r$	$r^2$	$f$	$rf$	$r^2f$
$r$	$r^2$	$e$	$rf$	$r^2f$	$f$
$r^2$	$e$	$r$	$r^2f$	$f$	$rf$
$f$	$r^2f$	$rf$	$e$	$r^2$	$r$
$rf$	$f$	$r^2f$	$r$	$e$	$r^2$
$r^2f$	$rf$	$f$	$r^2$	$r$	$e$

3) 대칭군(對稱群 : symmetric group) : $S_n$

• 주어진 집합($S$)의 모든 일대일함수(bijectives
  $f:S\rightarrow S$ )들을 원소로 가지는 집합

• 예 : 주어진 대상들의 순서를 정하는
  방법(순열/치환 : permutation)들의 집합

• 예 : $

  S_3

  =

  D_3

  $ 그러나 $

  S_4

  \neq

  D_4

  $

  • $D_4$ 원소 개수는 $4 \times 2 = 8$ 개

  • $S_4$ 원소 개수는 $4! = 24$ 개

부분군(部分群 : subgroup)

• 주어진 군(G)의 부분집합(H)으로서 군의 성질을 만족하는 것

• 자명한 부분군(trivial subgroup) : ${ 1 }$

  • 항등원만으로는 구성되는 집합은 항상 군이 된다.

• 앞의 $D_3$ 연산표에서 $C_3$ 연산표가 포함됨을 볼 수 있음

  • 즉 $C_3$ 는 $D_3$ 의 부분군이 될 수 있음